Geometri
empat titik, yang namanya dari aksioma pertamanya, memiliki pernyataan tak
terdefinisi titik, garis dan pada. Himpunan aksioma berikut akan
diasumsikan:
Aksioma
1. Terdapat tepat empat titik
Aksioma
2. Sembarang dua buah titik berbeda memiliki
tepat satu garis pada keduanya
Aksioma
3. Setiap garis terdapat pada tepat dua titik.
|
Gambar 1.2. 1
|
Definisi 1. Dua
buah garis pada titik yang sama disebut berpotongan dan disebut sebagai
garis-garis berpotongan
Definisi 2. Dua
buah garis tidak berpotongan disebut sebagai garis-garis sejajar
Teorema empat titik 1.
Dalam geometri empat titik, jika dua garis berbeda berpotongan, maka keduanya
memiliki tepat satu titik persekutuan.
Bukti. Menurut
definisi 1. dua titik garis berbeda yang berpotongan memiliki sedikitnya satu
titik persekutuan, dan aksioma 2 mencegah kedua garis untuk memiliki lebih dari
satu titik persekutuan.
Teorema empat titik 2.
Geometri empat titik memiliki tepat enam garis.
Bukti.
Dari aksioma 2, setiap pasang titik memiliki tepat satu garis pada keduanya dan
aksioma 1 menyediakan empat titik. Dengan kombinatorik sederhana, pasti
terdapat enam pasang titik, sehingga, paling sedikit ada enam titik. Aksioma 3
menjamin tak ada lagi garis lain.
Teorema empat titik 3.
Setiap titik pada geometri empat titik memiliki tepat tiga garis padanya.
Bukti.
Dari aksioma 2, setiap titik memiliki satu garis persekutuan dengan setiap tiga
titik lainnya. Dengan demikian, kita memiliki sedikitnya tiga garis pada setiap
titik. Anggap bahwa garis ke empat terdapat pada salah satu dari titik yang
diberikan; maka, menurut aksioma 3, dia harus terdapat pada satu dari
titik-titik lain, tapi hal ini akan melanggar aksioma 2. Dengan demikian,
terdapat tepat tiga garis pada setiap titik.
Teorema Empat Titik 4.
Dalam geometri empat titik, setiap garis berbeda memiliki tepat satu garis yang
sejajar dengannya.
Bukti. Aksioma
1 dan 3 menyediakan bagi kita suatu garis l dan suatu titik P
yang tak terletak pada l. Teorema empat titik 3 menyatakan bahwa
terdapat tepat tiga garis pada P, dan aksioma 2 menyatakan bahwa dua dari
empat titik tersebut harus memotong l. dengan demikian, kita memiliki
paling sedikit satu garis yang sejajar dengan l. Anggap bahwa terdapat
garis kedua yang sejajar dengan l. Garis ini tidak boleh memuat P
tanpa melanggar teorema empat titik 3, dan karena dia sejajar dengan l,
dia tak boleh memuat titik apapun pada l. Sekarang, garis sejajar kedua
dapat memuat hanya satu titik, yang berarti melanggar aksioma 3, atau terdapat
titik ke lima, yang melanggar aksioma 1. Dengan demikian, garis ke dua yang sejajar
tak dapat muncul dan berarti hanya ada tepat satu.
Bukti Alternatif.
Karena geometri ini terhingga, akan memungkinkan untuk menguji setiap kasus
yang mungkin pada titik dan garis. Dengan menggunakan gambar 2 yang
merepresentasikan titik-titik dengan huruf A, B, C, dan D dan
merepresentasikan garis dengan kolom-kolom pada huruf, kita dapat memeriksa
secara langsung untuk melihat bahwa duat garis berbeda memotong pada tepat satu
titik, yang berarti haruslah terdapat tepat enam garis, yang setiap titiknya
memiliki tepat tiga garis padanya, dan bahwa setiap garis memiliki tepat satu
garis yang sejajar padanya.
l1 l2 l3 l4 l5 l6
A
A A B
B C
B
C D C
D D
Gambar 1.2.2
0 komentar:
Posting Komentar