Diberdayakan oleh Blogger.
RSS
Container Icon

Geometri 4 Titik


Geometri empat titik, yang namanya dari aksioma pertamanya, memiliki pernyataan tak terdefinisi titik, garis dan  pada. Himpunan aksioma berikut akan diasumsikan:
Aksioma 1. Terdapat tepat empat titik
Aksioma 2. Sembarang dua buah titik berbeda memiliki tepat satu garis pada keduanya
Aksioma 3. Setiap garis terdapat pada tepat dua titik.
Sekarang, seperti disebutkan dalam sesi sebelumnya, model-model seringkali menawarkan pengertian mendalam pada suatu sistem aksiomatik. Jika titik direpresentasikan sebagai bintik-bintik pada kertas dan garis sebagai garis pensil, suatu model dari geometri empat titik dapat ditampilkan dengan banyak gambar yang diperlihatkan pada gambar 1. Pembaca harus memeriksa bahwa seluruh ketiga aksioma mengaplikasikan pada ketiga gambar tersebut.





Gambar 1.2. 1
 



Definisi 1. Dua buah garis pada titik yang sama disebut berpotongan dan disebut sebagai garis-garis berpotongan
Definisi 2. Dua buah garis tidak berpotongan disebut sebagai garis-garis sejajar

Teorema empat titik 1. Dalam geometri empat titik, jika dua garis berbeda berpotongan, maka keduanya memiliki tepat satu titik persekutuan.
Bukti. Menurut definisi 1. dua titik garis berbeda yang berpotongan memiliki sedikitnya satu titik persekutuan, dan aksioma 2 mencegah kedua garis untuk memiliki lebih dari satu titik persekutuan.

Teorema empat titik 2. Geometri empat titik memiliki tepat enam garis.
Bukti. Dari aksioma 2, setiap pasang titik memiliki tepat satu garis pada keduanya dan aksioma 1 menyediakan empat titik. Dengan kombinatorik sederhana, pasti terdapat enam pasang titik, sehingga, paling sedikit ada enam titik. Aksioma 3 menjamin tak ada lagi garis lain.

Teorema empat titik 3. Setiap titik pada geometri empat titik memiliki tepat tiga garis padanya.
Bukti. Dari aksioma 2, setiap titik memiliki satu garis persekutuan dengan setiap tiga titik lainnya. Dengan demikian, kita memiliki sedikitnya tiga garis pada setiap titik. Anggap bahwa garis ke empat terdapat pada salah satu dari titik yang diberikan; maka, menurut aksioma 3, dia harus terdapat pada satu dari titik-titik lain, tapi hal ini akan melanggar aksioma 2. Dengan demikian, terdapat tepat tiga garis pada setiap titik.

Teorema Empat Titik 4. Dalam geometri empat titik, setiap garis berbeda memiliki tepat satu garis yang sejajar dengannya.
Bukti. Aksioma 1 dan 3 menyediakan bagi kita suatu garis l dan suatu titik P yang tak terletak pada l. Teorema empat titik 3 menyatakan bahwa terdapat tepat tiga garis pada P, dan aksioma 2 menyatakan bahwa dua dari empat titik tersebut harus memotong l. dengan demikian, kita memiliki paling sedikit satu garis yang sejajar dengan l. Anggap bahwa terdapat garis kedua yang sejajar dengan l. Garis ini tidak boleh memuat P tanpa melanggar teorema empat titik 3, dan karena dia sejajar dengan l, dia tak boleh memuat titik apapun pada l. Sekarang, garis sejajar kedua dapat memuat hanya satu titik, yang berarti melanggar aksioma 3, atau terdapat titik ke lima, yang melanggar aksioma 1. Dengan demikian, garis ke dua yang sejajar tak dapat muncul dan berarti hanya ada tepat satu.

Bukti Alternatif. Karena geometri ini terhingga, akan memungkinkan untuk menguji setiap kasus yang mungkin pada titik dan garis. Dengan menggunakan gambar 2 yang merepresentasikan titik-titik dengan huruf A, B, C, dan D dan merepresentasikan garis dengan kolom-kolom pada huruf, kita dapat memeriksa secara langsung untuk melihat bahwa duat garis berbeda memotong pada tepat satu titik, yang berarti haruslah terdapat tepat enam garis, yang setiap titiknya memiliki tepat tiga garis padanya, dan bahwa setiap garis memiliki tepat satu garis yang sejajar padanya.
l1     l2    l3    l4    l5    l6
A   A   A   B   B   C
B   C   D   C   D   D


Gambar 1.2.2

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

0 komentar:

Posting Komentar